Педагогічні особливості формування математичного мислення в учнів 5-6 класів

      Особливості пізнавальної діяльності
Сприйняття. Школяр 5-6 класів володіє достатнім рівнем розвитку сприйняття. У нього високий рівень гостроти зору, слуху, орієнтування на форму і колір предмета.
Процес навчання висуває нові вимоги до сприйняття школяра. У процесі сприйняття навчальної інформації необхідні довільність і осмисленість діяльності учнів. Спочатку дитини приваблює сам предмет і в першу чергу його зовнішні яскраві ознаки. Але діти вже в змозі зосередитися і ретельно розглянути всі характеристики предмета, виділити в ньому головне, суттєве. Ця особливість проявляється в процесі навчальної діяльності. Вони можуть аналізувати групи фігур, впорядковувати предмети за різними ознаками, проводити класифікацію фігур по одному або двом властивостям цих фігур.
У школярів цього віку з'являється спостереження як спеціальна діяльність, розвивається спостережливість як риса характеру.
Процес формування поняття - поступовий процес, на перших стадіях якого важливу роль грає почуттєве сприйняття об'єкта.
Пам'ять. Школяр 5-6 класів здатний управляти своїм довільним запам'ятовуванням. Здатність до запам'ятовування (заучування) повільно, але поступово зростає.
У цьому віці пам'ять перебудовується, переходячи від домінування механічного запам'ятовування до змістового. При цьому перебудовується сама смислова пам'ять. Вона набуває опосередкований характер, обов'язково включається мислення. Тому необхідно учнів вчити правильно міркувати, щоб процес запам'ятовування базувався на розумінні пропонованого матеріалу.
Заодно з формою змінюється і зміст запам'ятовування. Стає більш доступним запам'ятовування абстрактного матеріалу.
Увага. Процес оволодіння знаннями, вміннями, навичками потребує постійного і ефективного самоконтролю учнів, що можливо тільки при сформованості досить високого рівня довільної уваги.
Школяр 5-6 класів цілком може керувати своєю увагою. Він добре концентрує увагу в значущої для нього діяльності. Тому потрібно підтримувати інтерес школяра до вивчення математики. При цьому доцільно спиратися на допоміжні засоби (предмети, картинки, таблиці).
У школі на уроках увагу потребує підтримки з боку вчителя.
Уява. У процесі навчальної діяльності учень отримує багато описових відомостей. Це вимагає від нього постійного відтворення образів, без яких неможливо зрозуміти і засвоїти навчальний матеріал, тобто відтворює уяву учнів 5-6 класів з самого початку навчання включено в цілеспрямовану діяльність, що сприяє його психічному розвитку.
При розвитку у дитини здібності керувати своєю розумовою діяльністю уява стає все більш керованим процесом.
У школярів 5-6 класів уява може перетворитися на самостійну внутрішню діяльність. Вони можуть програвати в розумі розумові завдання з математичними знаками, оперувати значеннями і смислами мови, поєднуючи дві вищі психічні функції: уява і мислення.
Всі зазначені вище особливості створюють грунт для розвитку процесу творчої уяви, в якому велику роль відіграють спеціальні знання учнів. Ці знання складають основу для розвитку творчої уяви і в наступні вікові періоди життя школяра.
Мислення. Дедалі більшого значення починає набувати теоретичне мислення, здатність встановлювати максимальну кількість смислових зв'язків в навколишньому світі. Школяр психологічно занурений в реальності предметного світу, образно-знакових систем. Досліджуваний у школі матеріал стає для нього умовою для побудови та перевірки своїх гіпотез.
У 5-6 класах у школяра виробляється формальне мислення. Школяр цього віку вже розмірковувати, не пов'язуючи себе з конкретною ситуацією.
Вчені вивчали питання про розумові можливості школярів 5-6 класів. У результаті досліджень виявилося, що розумові можливості дитини ширше, ніж передбачалося раніше, і при створенні відповідних умов, тобто при спеціальній методичній організації навчання, учень 5-6 класів може засвоїти абстрактний математичний матеріал.
Як видно з вищевикладеного, психічні процеси характеризуються віковими особливостями, знання та облік яких необхідні для організації успішного навчання і розумового розвитку учнів.

   Психологічні аспекти формування понять
Звернемося до психологічної літератури і з'ясуємо основні положення концепції формування наукових понять.
Неможливо передавати поняття в готовому вигляді. Дитина може отримати його лише в результаті своєї власної діяльності, спрямованої не на слова, а на ті предмети, поняття про які ми хочемо у нього сформувати.
Становлення понять - це процес формування не тільки особливого зразка світу, але і певної системи дій. Дії, операції і складають психологічний механізм понять. Без них поняття не може бути ні засвоєно, ні застосовано надалі до вирішення завдань. У силу цієї особливості сформовані понятя не можуть бути зрозумілі без звернення до дій, продуктом яких вони є. І необхідно формувати такі види дій, які використовуються при вивченні понять:
-дія розпізнавання використовується, коли поняття засвоюється для розпізнавання об'єктів, що відносяться до даного класу. Ця дія може бути застосована при формуванні понять з кон'юнктивній і диз'юнктивної логічній структурі;
-виведення наслідків;
-порівняння;
-класифікація;
- дії, пов'язані з встановленням ієрархічних відносин всередині системи понять, та інші.
Розглядається  також роль визначення поняття в процесі його засвоєння. Визначення - орієнтовна основа для оцінки предметів, з якими взаємодіє, кого навчають. Так, отримуючи визначення кута, учень може тепер аналізувати різні предмети з точки зору наявності чи відсутності в них ознак кута. Така реальна робота створює в голові учня образ предметів даного класу. Таким чином, отримання визначення - це лише перший крок на шляху засвоєння поняття.
Другий крок - включення визначення поняття в ті дії учнів, які вони виконують з відповідними об'єктами і за допомогою яких будують у своїй голові поняття про ці об'єкти.
Третій крок полягає в тому, щоб навчити школярів орієнтуватися на утримання визначення при виконанні різних дій з об'єктами. Якщо це не забезпечено, то в одних випадках учні будуть спиратися на властивості, які вони самі виділили в об'єктах, в інших випадках діти можуть використовувати тільки частини зазначених властивостей, по-третє - можуть додати до вказаних визначень свої.
Умови, що забезпечують управління процесом засвоєння понять
1. Наявність адекватної  дії: вона  повинна бути спрямована на істотні властивості.
2. Знання складу використовуваного дії. Наприклад, дія розпізнавання включає:

 а) актуалізацію системи необхідних і достатніх властивостей поняття,

б) перевірку кожного з них у пропонованих об'єктах;

в) оцінку отриманих результатів.
3. Представленість всіх елементів дій у зовнішній, матеріальній формі.
4. Поетапне формування введеної дії.
5. Наявність поопераційного контролю при засвоєнні нових форм дії.
Н.Ф. Тализіна детально зупиняється на поетапному формуванні понять. Після виконання 5-8 завдань з реальними предметами або моделями учні без всякого заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія переводиться у зовнішньо мовленнєву  форму, коли завдання даються в письмовому вигляді, а ознаки понять, правила та припис називаються або записуються учнями по пам'яті.
У тому випадку, коли дія легко і правильно виконується у зовнішньо мовленнєвій  формі, її можна перевести у внутрішню форму. Завдання дається в письмовому вигляді, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів з правилом учні роблять про себе. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом в міру необхідності.
Якщо дія виконується правильно, то його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. Контроль з боку учня передбачений тільки за кінцевим продуктом дій. Допомогу учень отримує при наявності ускладнень або невпевненість у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стала повністю розумовою.
Так поступово відбувається перетворення дії за формою. Перетворення ж по узагальненості забезпечується спеціальним підбором завдань
Подальше перетворення дії досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно лише на останніх етапах. На всіх інших етапах дається лише таке число завдань, яке забезпечує засвоєння дії в цій формі.
Вимоги до змісту і форми завдань
1. При складанні завдань слід орієнтуватися на ті нові дії, які формуються.
2. Друга вимога до завдань - відповідність форми етапу засвоєння. Наприклад, на перших етапах об'єкти, з якими працюють учні, повинні бути доступні для реального перетворення.
3. Кількість завдань залежить від мети і складності формованої діяльності.
4. При доборі завдань необхідно враховувати, що перетворення дії йде не тільки за формою, а й у міру узагальненості, автоматизації і т.д.
Було проведено багато експериментів, коли реалізовувалися зазначені умови. У всіх випадках, стверджує М. Ф. Тализіна, поняття формувалися не тільки із заданим змістом, а й високими показниками за такими характеристиками:
- Розумність дій досліджуваних;
-Усвідомленість засвоєння;
-Упевненість учнів у знаннях і діях;
-Відсутність зв'язаності чуттєвими властивостями предметів;
-Узагальненість понять і дій;
-Міцність сформованих понять і дій.
Отже, у дитини поступово формується певний образ предметів даного класу. Поняття дійсно не можна дати в готовому вигляді, воно може бути побудовано тільки самим учнем шляхом виконання певної системи дій з предметами. Учитель допомагає учневі сформувати цей образ з вмістом, випереджаючим істотні властивості предметів даного класу, і задає суспільно вироблену точку зору на предмети, з якими працює учень. Поняття - це продукт дій, виконуваних учнем з предметами даного класу.

Провідною ідеєю сучасної концепції шкільної освіти є ідея гуманізації, що ставить в центр процесу навчання учня з його інтересами і можливостями, що вимагає врахування особливостей його особистості. Головними напрямками математичної освіти є посилення загальнокультурного звучання і підвищення його значимості для формування особистості підростаючої людини. Основні ідеї, покладені в основу курсу математики 5-6 класу - це загальнокультурна орієнтація змісту, інтелектуальний розвиток учнів засобами математики на матеріалі, що відповідає інтересам і можливостям дітей 10-12 років.
Курс математики 5-6 класів - важлива ланка математичної освіти і розвитку школярів. На цьому етапі закінчується в основному навчання рахунку на безлічі раціональних чисел, формується поняття змінної і даються перші знання про прийоми розв'язання лінійних рівнянь, триває навчання рішенню текстових задач, удосконалюються і збагачуються вміння геометричних побудов і вимірювань. Серйозна увага приділяється формуванню вміння міркувати, робити прості докази, давати обгрунтування виконуваних дій. Паралельно закладаються основи для вивчення систематичних курсів стереометрії, фізики, хімії та інших суміжних предметів.
Курс математики 5-6 класів являє собою органічну частину всієї шкільної математики. Тому основною вимогою до його побудови є структурування змісту на єдиній ідейній основі, яка, з одного боку, є продовженням і розвитком ідей, реалізованих під час навчання математики в початковій школі, і, з іншого боку, служить подальшого вивчення математики в старших класах.
Продовжується розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу початкової математики: числовий, алгебраїчної, функціональної, геометричної, логічної, аналіз даних. Вони реалізовані на числовому, алгебраїчному, геометричному матеріалі.
Останнім часом істотно переглянуто вивчення геометрії. Метою вивчення  деяких тем геометрії в 5-6 класах є пізнання навколишнього світу мовою і засобами математики. За допомогою побудов і вимірювань учні виявляють різні геометричні закономірності, які формулюють як пропозицію, гіпотезу. Доказовий аспект геометрії розглядається в проблемному плані - учням прищеплюється думка, що експериментальним шляхом можна відкрити багато геометричних фактів, але ці факти стають математичними істинами тільки тоді, коли вони встановлені засобами, прийнятими в математиці.
Таким чином, геометричний матеріал в цьому курсі може бути охарактеризований, як наочно-діяльнісна геометрія. Навчання організується як процес інтелектуально-практичної діяльності, спрямованої на розвиток просторових уявлень, образотворчих умінь, розширення геометричного кругозору, в ході якого найважливіші властивості геометричних фігур виходять за допомогою досвіду і здорового глузду.
Досить новою в курсі 5-6 класів є змістовна лінія «Аналіз даних», яка об'єднує в собі три напрямки: елементи  математичної статистики, комбінаторики, теорію ймовірностей. Введення цього матеріалу продиктовано самим життям. Його вивчення спрямоване на формування у школярів як загальної ймовірнісної інтуїції, так і конкретних способів оцінки даних. Основне завдання в цій ланці - формування відповідного словника, навчання найпростішим прийомам збору, представлення та аналізу інформації, навчання рішення комбінаторних завдань перебором можливих варіантів, створення елементарних уявлень про частоту та ймовірності випадкових подій.
Однак дана лінія присутня не в усіх сучасних шкільних підручниках для 5-6 класів.
Алгебраїчний матеріал, включений в курс математики 5-6 класів, є основою для систематичного вивчення алгебри у старших класах. Можна відзначити наступні особливості вивчення цього алгебраїчного матеріалу:
1. Вивчення алгебраїчного матеріалу грунтується на науковій основі з урахуванням вікових особливостей і можливостей учнів.
2. Формування алгебраїчних понять і вироблення відповідних умінь і навичок складають єдиний процес, побудований на детально розробленій системі вправ.
3. Система вправ служить надійним засобом для оволодіння сучасною математичною мовою, так як ця мова широко застосовується при формулюванні різних завдань. Наприклад, «Доведіть, що така нерівність вірна: 29 ² <1000».
4. Удосконалення обчислювальних навичок органічно пов'язане з вивченням алгебраїчного матеріалу.
У 5-6 класах робиться акцент на розвиток обчислювальної культури, зокрема, на навчання магічними прийомам прикидки і оцінки результатів дій, перевірки їх на правдоподібність. Підвищена увага до арифметичних прийомів розвязання текстових завдань як засобу навчання способам міркування, вибору стратегії вирішення, аналізу ситуації, зіставленню даних і, в кінцевому підсумку, розвитку мислення учнів.
Досліджувані в цей час тотожні перетворення алгебраїчних виразів із змінними широко застосовуються для функціональної пропедевтики. Значне місце в курсі математики середньої школи відводиться матеріалу функціонального характеру. Визначення функції вводиться в 7 класі, а функціональна пропедевтика починається з 5 класу, де розглядається поняття змінної, вирази зі зміною, формули, що задає залежності між деякими величинами.
Використання буквених позначень дозволяє ставити питання про побудову формул. Зв'язки між величинами задаються також табличним і графічним способами, і діти тренуються в переході від однієї форми завдання залежності до іншої. Систематична робота з конкретними залежностями забезпечує готовність дітей до вивчення функцій в старших класах.
Методи. Курс математики 5-6 класів побудований індуктивно. Зміст навчального матеріалу змушує використовувати методи, що сприяють формуванню як продуктивною, так і репродуктивної діяльності.
У 5-6 класах найбільш часто застосовуються такі методи навчання:
· Пояснювально-ілюстративний. Цілий ряд понять математики 5-6 класів може бути введений даним методом. За допомогою його може бути вивчений матеріал, який служить логічним продовженням і розширенням основного матеріалу. Цим же методом можна вивчати конкретні алгоритми. Також вивчаються пояснювально-ілюстративним методом зведення, якими можна скористатися як готовими (сформованими в початковій школі) знаннями, але отримують нове застосування. Мета вивчення матеріалу пояснювально-ілюстративним методом - довести знання правил, законів, алгоритмів і т.п. до рівня навички.
· Частково-пошуковий та проблемний методи. Основні поняття курсу повинні бути вивчені методами, які б забезпечували творчий (продуктивний) характер діяльності учнів. До числа таких методів, цілком застосовних у 5-6 класах, можна віднести частково-пошуковий. Цим методом можуть бути вивчені поняття: змінна, правильне і неправильне нерівність і т.п.
Урок. Особливості предмета математики 5-6 класів (майже на кожному уроці необхідно вивчати нові факти з предмета), вимога програми, темп вивчення матеріалу призвели до того, що найбільш поширений тип уроку в цих класах - комбінований.
Перерахуємо ще деякі особливості навчання математики в 5-6 класах:
· На початковому етапі вивчення математики в 5 класі учні повторюють відомі їм з 1-4 класів поняття, але повторення це ведеться на новому рівні, із залученням математичної термінології і символіки. Робиться це для того, щоб закласти основи математичної мови, основи математичної культури.
· У курсі 5-6 класів часто вдаються при викладі арифметики і початків  алгебри до геометричних визначень за допомогою координатної прямої або променя, що дозволяє зробити навчання більш наочним, а отже, більш доступним і зрозумілим для учнів. Подібним чином, наприклад, вивчається порівняння звичайних і десяткових дробів.
· Однією з особливостей даного курсу є лінійно-концентричне викладення матеріалу, відповідно до якого учні неодноразово повертаються до всіх принципових питань, піднімаючись в кожному наступному проході на новий рівень.
Приклад, при вивченні теми «Десяткові дроби і відсотки» відбувається перехід від безлічі цілих невід'ємних чисел до безлічі раціональних невід'ємних; при цьому навчання будується з опорою на відомі учням алгоритми дій з натуральними числами, постійно використовуються знання та вміння, отримані раніше.
· Перша складність, з якою зустрічаються п'ятикласники, - робота з пояснювальним текстом підручника. Причина цього - недостатня техніка читання в деяких дітей, малий словниковий запас, а також і те, що в підручниках початкової школи такі об'ємні тексти не зустрічалися.
Протягом всього часу навчання в 5-х і 6-х класах вчителю математики необхідно систематично розвивати у дітей уміння читати, розуміти текст, працювати з ним. Ця робота є необхідною базою для успішного вивчення систематичних курсів алгебри та геометрії в наступних класах.
· Вивчення математики вимагає активних розумових зусиль. Дуже важко підтримувати довільну увагу учнів протягом всього уроку. Напружена розумова діяльність, велика кількість однотипних і взагалі-то рутинних обчислень або алгебраїчних перетворень швидко стомлює школярів. Існує універсальний спосіб підтримування робочого тонусу учнів: переключення з одного виду навчальної діяльності на інший. Але можна скористатися і радою Блеза Паскаля: «Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків робити його трохи цікавим». Дана  порада особливо актуальна при навчанні математики в 5-6 класах. Втім, це теж один з різновидів перемикання.

Особливості формування математичних понять у 5-6 класах

Будь-яке поняття, у тому числі і математичне, є абстракцією від багатьох конкретних об'єктів, які описуються ним. У понятті відбиваються стійкі властивості досліджуваних об'єктів, явищ. Ці властивості повторюються у всіх об'єктів, які об'єднуються поняттям. Але кожен реальний об'єкт має деякі інші властивості, притаманні тільки йому. Різниця в несуттєвих властивості тільки відтіняє, підкреслює суттєві.
Якщо в початкових класах навчання ведеться в основному на наочно образному рівні мислення, то в 5-6 класах більш глибоко розвивається словесно-логічне мислення. Змістом такого мислення є поняття, сутність яких «вже не зовнішні, конкретні, наочні ознаки предметів та їх відносини, а внутрішні, найбільш істотні властивості предметів і явищ і співвідношення між ними».
Всі поняття, що вивчаються у початкових класах, надалі переосмислюються на більш високому теоретичному рівні (змінна, рівняння, фігура тощо) або поглиблюються й узагальнюються (поняття про число, алгоритми арифметичних дій, закони арифметичних дій та ін.)
Не завжди є можливість та й необхідність формувати визначення по конструкції: 1) зазначається рід, 2) вказуються ті ознаки, які відрізняють цей вид (визначається поняття) від інших видів найближчого роду. Учнів навчають на наочно-інтуїтивній основі розуміти значення суттєвих і несуттєвих ознак для розкриття суті визначається поняття, тобто достатньо сформувати правильне уявлення. У курсі математики 5-6 класів це часто досягається за допомогою пояснювальних описів - доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога відомості нового поняття до раніше вивчених. Засвоєння має бути доведено до такого рівня, щоб у подальшому, не згадуючи опису, учень міг дізнатися об'єкт, що відноситься до даного поняття. Приклад, що пояснюють описи  багатокутника, багатогранника, відстані, симетрій, натурального числа і ін
Більшість дітей 5-го класу сприймає пояснювальний текст підручника, формулювання визначень і правил цілком однорідними - їм важко знайти визначення і визначальне поняття, вказівка ​​на математичні властивості математичного об'єкта. Саме цим значною мірою пояснюються труднощі в заучуванні і вірному відтворенні теоретичних положень, правил дій: всі слова учневі здаються однаково важливими (або однаково неважливими?), А тому заучування відбувається чисто механічно, і втрата або заміна залишаються їм непоміченими.
Головне в роботі з визначеннями в 5-6 класах - показувати учням відміну визначень від інших пропозицій, виділених у підручнику жирним шрифтом; вчити їх аналізувати конструкцію визначень; індуктивним методом формувати визначення основних понять.
Якщо учні в 5-6 класах отримають необхідні навички в роботі з визначеннями, будуть розуміти прості логічні міркування і відрізняти логічні конструкції різних математичних пропозицій, то вони зможуть вивчати курс математики старших класів більш усвідомлено.
Визначення розглядаються в найпростішому варіанті через рід і вид. Формування поняття докази спирається на реальні життєві уявлення про необхідність обгрунтування, її переконливості міркувань. Цей початковий етап поступово змінюється уявлення про доказі, адекватному математики.
Проаналізувавши підручники для 5-6 класів, побачимо, що аксіоматичні визначення відсутні, геометричні поняття в більшості своїй визначаються через конструювання, алгебраїчним поняттями, в основному, даються визначення-угоди, що пояснює опис.